Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Типовые задачи по начертательной геометрии и методы их решений. Контрольная

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Общие положения

1. Число точек пересечения соответствует порядку заданной поверхности Ф.

2. В основу построения положен способ вспомогательных поверхностей

3. В качестве вспомогательных поверхностей обычно выбирают плоскости S, проходящие через заданную прямую n.

4. Плоскость S должна пересекать Ф по линии d, проекции которой были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

5. Видимость проекций прямой n по видимости проекций поверхности.

Рис. 62 - Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм построения: - S É n;

- S Ç F = d;

- 1, 2 = d Ç n. 

6.2. Построение точек пересечения прямой с
поверхностью многогранника

 Поверхность многогранника представляет собой совокупность пересекающихся плоскостей. Поэтому решение данной задачи, по существу, является двукратным определением точки пересечения прямой линии с плоскостью (см. раздел 3.2, рис.35).

Схема решения выглядит так:

- плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет многогранник по плоской замкнутой ломаной линии 1-2-3-1;

- искомые точки M и N есть результат пересечения линии 1-2-3-1 с прямой n.

Алгоритм решения задачи:

S É n, S - проецирующая плоскость.

S Ç F = ( 1-2-3-1).

3. М =(1-2-3-1) Ç n = F Ç n,

N = ( 1-2-3-1) Ç n = F Ç n.

Рис.63 - Определение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника (пространственный пример)

 Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью Ф пирамиды SABC.

 Построение:

Через прямую n проводим горизонтально проецирующую плоскость S.

Определяем горизонтальную проекцию ломаной: S1 Ç Ф1 = (11 – 21 – 31- 11).

Определяем фронтальные проекции вершин ломаной: 12 Ì А2 В2, 22 Ì S2B2, 32 Ì B2C2.

Строим фронтальную проекцию ломаной: 12 – 22 – 32- 12.

Определяем фронтальные проекции искомых точек: (12 – 22 – 32- 12) Ç n2 = М2 Ù N2.

Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ì n1 Ù N1 Ì n1.

Определяем видимость проекций прямой n по dидимости проекций граней пирамиды.

Рис.64 - Определение точек пересечения прямой n с поверхностью пирамиды

6.3. Построение точек пересечения прямой
с поверхностью цилиндра

 На рис. 65 и 66 построены точки пересечения поверхности эллиптического цилиндра a с прямой линией m.

 Через прямую m проведена плоскость w , пересекающая цилиндрическую поверхность по образующим. Для этого, как известно, плоскость должна быть параллельна образующим (или оси) цилиндра. На рисунках она определена прямой m и прямой а, проходящей через некоторую точку А прямой m и параллельно оси цилиндра:

Рис. 65 - Пространственная модель

w = ( m Ç a = А ).

 Другие плоскости, в частности проецирующие, проходящие через прямую m, дадут в сечении цилиндра более сложные кривые линии.

 Для построения линии пересечения плоскости w и цилиндрической поверхности, т.е. двух образующих цилиндра, должна быть проведена вспомогательная секущая плоскость. В качестве нее выбрана плоскость s основания цилиндра, что позволяет не строить линию пересечения этой плоскости с цилиндрической поверхностью, так как она уже начерчена – это кривая линия основания k.

 Плоскость s пересекается с плоскостью w по прямой 1 – 2. На рис. 66 эта линия очевидна, так как плоскость

s - проецирующая. В случае, если прямая m пересекается с плоскостью s за пределами чертежа, точку (1) находят с помощью какой-либо дополнительной прямой, например (b), взятой в плоскости w, (рис. 65). Точки L1 и L2 пересечения линий k и (1 – 2) принадлежат образующим l1 и l2 сечения цилиндра плоскостью w:

w Ç a = (l1 , l2).

Рис. 66 - Комплексный чертеж

 Точки М1 и М2 пересечения этих образующих с прямой m являются искомыми:

М1 = l1 Ç m, М2 = l2 Ç m.

 Отрезок М1 - М2 прямой линии m находится внутри цилиндра и изображен поэтому линией невидимого контура. На рис. 65 слева от точки М1 прямая m видна, так как эта точка лежит на видимой стороне поверхности цилиндра. Часть линии m справа от точки М2 остается невидимой, так как точка М2 лежит на невидимой стороне поверхности a . Аналогично решается вопрос видимости на каждой проекции, рис. 66. Для уточнения видимости плохо различимого участка прямой m элемент I этого чертежа показан в более крупном масштабе.

6.4. Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

Рис. 67 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

Плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет конус по линии d.

Искомые точки M и N – результат пересечения линии d с прямой n.

 Алгоритм решения:

S É n

S Ç F = d

М Ù N = d Ç n

 Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то используют плоскость общего положения, проходящую через прямую и вершину конуса, и пересекающую поверхность конуса по образующим.

 Рассмотрим пример. Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью F конуса вращения, (рис. 68).

Построение:

Через прямую n и вершину S конуса F проводим плоскость общего положения S: S( n Ç m); m Ì S.

S Ç Г = (2 – 3), (плоскость основания F).

(2 – 3) Ç р = (4, 5).

S Ç Ф = (4 – S – 5).

(4 – S – 5) Ç n = М, N.

Определяем видимость прямой n по видимости проекций поверхности конуса.

Рис. 68 - Определение точки пересечения прямой с поверхностью конуса

6.5. Построение точек пересечения прямой со сферой

Рис. 69 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

Построение осуществляют по алгоритму 1-ой позиционной задачи.

Плоскость S, проходящая через прямую n , пересечет сферу по окружности d.

 Искомые точки М и N – результат пересечения окружности d с прямой n.

 

  Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то применяют один из способов преобразования чертежа, чтобы проекции линии пересечения сферы с введенной плоскостью были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

Рис. 70 - Комплексный чертеж

 Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения фронтали f(AB) со сферой Ф, (рис. 70).

Анализ решения:

 - окружность d(R) сечения сферы Ф плоскостью S ççП2 , проходящей через f, спроецируется на П2 без искажения.

 Построение: 

Через прямую f проводим фронтальную плоскость уровня S: S ççП2 .

Определяем фронтальную проекцию окружности: S Ç f = d(R) .

Определяем фронтальные проекции искомых точек: М2 Ù N2 = d2 Ç f2(А2 В2).

Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ù N1 Ì f1(А1 В1).

Определяем видимость проекций фронтали f(AB) по видимости проекций сферы Ф.

 Решим задачу: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения d(AB) со сферой Ф, (рис. 71).

 Построение:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуем прямую a в линию уровня:

- на П4 линия сечения сферы плоскостью(а Ì S ççП4 ) спроецируется в окружность;

- в системе плоскостей П1/ П4 эта задача эквивалентна предыдущему примеру, рис.70.

2. Находим проекции точек:

d4 Ç а4= М4, N4.

3. Обратным преобразованием определяем проекции точек М1 и N1, а затем – М2 и N2.

Рис. 71. Комплексный чертеж

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

В чем заключается способ нахождения точек пересечения многогранной поверхности с прямой линией?

 В чем заключается способ нахождения точек пересечения кривой поверхности с прямой линией?

В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью?

В каком случае при решении задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью не используются проецирующие плоскости?

Как определить видимость проекций прямой?


[an error occurred while processing this directive]

Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика