Метод интегрирования по частям Задача о площади криволинейной трапеции Вычисление площади в декартовых координатах. Линейные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение второго порядка Функция двух переменных

Полное приращение и полный дифференциал. Скалярное поле Знакопеременные ряды Исследовать на сходимость ряд.  Функциональные ряды Комплексные числа


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике

Знакопеременные ряды

Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов на (–1).

Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая–знакочередующихся рядов.

Определение: Числовой ряд вида , где – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема: (признак Лейбница) Дифференциальные уравнения вычисление площади и обьема Вычисление объема тела

Если для знакочередующегося числового ряда

(1)

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю …>

, то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию U1>U2>…>U2n–1>U2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n > 0 при любом n.

С другой стороны

S2n=U1–[(U2–U3)+(U4–U5)+…+(U2n–2–U2n–1)+U2n]

Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому,

S2n<U1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный . При этом 0<S£U1, так как S2n<U1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда

S2n+1=S2n+U2n+1.

Перейдём в последнем равенстве к пределу при n®¥:

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.


На главную