Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Методические указания по выполнению контрольной работы по технической механике

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ТОЧЕК

Раздел состоит из трех тем. В результате изучения раздела студент должен:

знать а) определение количества движения, кинетического момента и кинетической энергии системы; б) формулировки основных теорем динамики системы в дифференциальной и интегральной формах; в) законы сохранения количества движения, координаты центра масс и кинетического момента системы;

уметь а) практически вычислять количество движения, кинетический момент, кинетическую энергию системы; б) вычислять работу, моменты, импульсы внешних сил, приложенных к системе; в) практически применять при решении задач основные теоремы динамики системы и закон сохранения количества движения, координаты центра масс, кинетического момента системы;

помнить а) формулы для вычисления количества движения, кинетического момента и кинетической энергии системы работы сил; б) формулы, выражающие основные теоремы динамики системы; в) порядок решения задач.

Тема 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Основные теоремы динамики являются следствиями, вытекающими из основного закона динамики. Рассмотрим эти теоремы для системы точек.

Пусть имеем механическую систему, состоящую из n точек. Запишем для произвольной точки Аj теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме:

  или ,

где  — внешняя сила;  — внутренняя сила.

, написав подобные равенства для каждой из n точек системы, сложим их. Получаем:

.

Внесем знак под знак производной:

.

  — по свойству внутренних сил;

  — вектор количества движения системы точек.

Количеством движения системы называются вектор , равный геометрической сумме векторов количеств движения всех точек системы. Заменив

имеем

 

(1)

Равенство (1) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной векторной форме: производная от количества движения системы по времени равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проинтегрировав равенство (1), получим:

(2)

Равенство (2) выражает теорему в интегральной векторной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Из выражений (1) и (2) следует, что количество движения системы зависит только от внешних сил, внутренние силы изменить количество движения системы не могут. Обозначим проекции векторов  а . Спроектировав на декартовы оси равенства (1) и (2), получим:

(3)

(4)

Имеем скалярное дифференциальное выражение теоремы об изменении количества движения системы (3): производная от проекции количества движения системы на какую-либо ось по времени равна сумме проекций всех внешних сил на ту же ось. Скалярное интегральное выражение этой же теоремы (4): изменение проекции количества движения системы на какую-либо ось по времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил на туже ось.

Частные случаи рассматриваемой теоремы

 тогда .

(5)

— закон сохранения количества движения системы.

  тогда

(6)

— закон сохранения проекции количества движения.

Пример. Из орудия весом Р2 вылетает снаряд в горизонтальном направлении весом Р1 со скоростью . Найти скорость после вылета (скорость отката)  (рис. 11).
Если рассмотреть орудие и снаряд как одну систему, то давление пороховых газов  при выстреле — внутренняя сила, а силы   и  — внешние. Тогда  и . Наблюдается сохранение проекции количества движения системы на ось х. В начальный момент система неподвижна:  и . В момент выстрела ; , но .

.

  — скорость отката орудия.

Примечание. Практическое значение теоремы в том, что при соответствующем выборе механической системы исключаются из рассмотрения все неизвестные внутренние силы. Теорема применяется в теории удара, динамики точки переменной массы, динамике сложных сред (газ, жидкость).

Выражение количества движения системы через скорость центра масс

Если число точек системы велико, то определить вектор  по формуле  трудно, а иногда невозможно. В этом случае количество движения системы вычисляется через скорость центра масс.

Что такое центр масс системы, уже знаем. Положение этой точки определяется координатами:

   

Умножим обе части этих равенств на массу системы М, получим:

  

Продифференцируем обе части этих равенств по времени:

  

(7)

Но xC, yC, zC — координаты точки C — центра масс, а  — проекции скорости точки С на оси координат, т.е. . Координаты точки системы —  а  — проекции скорости . Соответственно система (7) определяет проекции векторов количеств движения точки С  в левой части и вектора  в правой части. Но если равны проекции векторов, то равны и сами векторы: ;

(8)

Вывод. Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость центра масс.

С помощью последней формулы очень легко можно вычислить количество движения системы, скорость центра масс которой известна.


Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика