Начертательная геометрия | Машиностроительное черчение | Контрольная по технической механике | Передачи вращательного движения | Момент инерции | Кинетическая энергия системы

Методические указания по выполнению контрольной работы по технической механике

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ТОЧЕК

Раздел состоит из трех тем. В результате изучения раздела студент должен:

знать а) определение количества движения, кинетического момента и кинетической энергии системы; б) формулировки основных теорем динамики системы в дифференциальной и интегральной формах; в) законы сохранения количества движения, координаты центра масс и кинетического момента системы;

уметь а) практически вычислять количество движения, кинетический момент, кинетическую энергию системы; б) вычислять работу, моменты, импульсы внешних сил, приложенных к системе; в) практически применять при решении задач основные теоремы динамики системы и закон сохранения количества движения, координаты центра масс, кинетического момента системы;

помнить а) формулы для вычисления количества движения, кинетического момента и кинетической энергии системы работы сил; б) формулы, выражающие основные теоремы динамики системы; в) порядок решения задач.

Тема 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Основные теоремы динамики являются следствиями, вытекающими из основного закона динамики. Рассмотрим эти теоремы для системы точек.

Пусть имеем механическую систему, состоящую из n точек. Запишем для произвольной точки Аj теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме:

  или ,

где  — внешняя сила;  — внутренняя сила.

, написав подобные равенства для каждой из n точек системы, сложим их. Получаем:

.

Внесем знак под знак производной:

.

  — по свойству внутренних сил;

  — вектор количества движения системы точек.

Количеством движения системы называются вектор , равный геометрической сумме векторов количеств движения всех точек системы. Заменив

имеем

 

(1)

Равенство (1) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной векторной форме: производная от количества движения системы по времени равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проинтегрировав равенство (1), получим:

(2)

Равенство (2) выражает теорему в интегральной векторной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Из выражений (1) и (2) следует, что количество движения системы зависит только от внешних сил, внутренние силы изменить количество движения системы не могут. Обозначим проекции векторов  а . Спроектировав на декартовы оси равенства (1) и (2), получим:

(3)

(4)

Имеем скалярное дифференциальное выражение теоремы об изменении количества движения системы (3): производная от проекции количества движения системы на какую-либо ось по времени равна сумме проекций всех внешних сил на ту же ось. Скалярное интегральное выражение этой же теоремы (4): изменение проекции количества движения системы на какую-либо ось по времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил на туже ось.

Частные случаи рассматриваемой теоремы

 тогда .

(5)

— закон сохранения количества движения системы.

  тогда

(6)

— закон сохранения проекции количества движения.

Пример. Из орудия весом Р2 вылетает снаряд в горизонтальном направлении весом Р1 со скоростью . Найти скорость после вылета (скорость отката)  (рис. 11).
Если рассмотреть орудие и снаряд как одну систему, то давление пороховых газов  при выстреле — внутренняя сила, а силы   и  — внешние. Тогда  и . Наблюдается сохранение проекции количества движения системы на ось х. В начальный момент система неподвижна:  и . В момент выстрела ; , но .

.

  — скорость отката орудия.

Примечание. Практическое значение теоремы в том, что при соответствующем выборе механической системы исключаются из рассмотрения все неизвестные внутренние силы. Теорема применяется в теории удара, динамики точки переменной массы, динамике сложных сред (газ, жидкость).

Выражение количества движения системы через скорость центра масс

Если число точек системы велико, то определить вектор  по формуле  трудно, а иногда невозможно. В этом случае количество движения системы вычисляется через скорость центра масс.

Что такое центр масс системы, уже знаем. Положение этой точки определяется координатами:

   

Умножим обе части этих равенств на массу системы М, получим:

  

Продифференцируем обе части этих равенств по времени:

  

(7)

Но xC, yC, zC — координаты точки C — центра масс, а  — проекции скорости точки С на оси координат, т.е. . Координаты точки системы —  а  — проекции скорости . Соответственно система (7) определяет проекции векторов количеств движения точки С  в левой части и вектора  в правой части. Но если равны проекции векторов, то равны и сами векторы: ;

(8)

Вывод. Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость центра масс.

С помощью последней формулы очень легко можно вычислить количество движения системы, скорость центра масс которой известна.


На главную