Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Методические указания по выполнению контрольной работы по технической механике

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ

Кинетическим моментом системы или главным моментом количеств движения системы относительно некоторого центра О называется вектор , равный геометрической сумме векторов моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:

(1)

Проекции вектора  на оси Оxyz — называются кинетическими моментами системы относительно осей координат.

Кинетическим моментом системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно той же оси:

; ;

(2)

Вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью  (рис. 28).

Разобьем тело на отдельные материальные точки и возьмем одну  массой . Ее расстояние до оси  — , количество движения . Найдем момент , где . Тогда . По определению .

Итак, 

(3)

Вывод. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Вычислим кинетический момент тела относительно оси С, перпендикулярной к плоскости движения Oхy тела и проходящей через его центр масс С.

Пусть плоская фигура S движется в своей плоскости Охy (рис. 29). Найдем  — кинетический момент фигуры относительно С . Найдем , так как , то .


Тогда , (8)

где    — момент инерции тела относительно оси С.

Сравнивая выражение (3) и (4), видим, что кинетический момент относительно осей Oz и С одинаков.

Рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в абсолютном движении.

Пусть имеем систему, состоящую из n точек. Возьмем произвольную точку массой   и запишем для нее теорему об изменении момента количества движения точки в векторной форме (). Точка взята из системы, значит и . Подобные равенства напишем для каждой из n точек системы и все их просуммируем. В результат получим ; по свойству внутренних сил  Внесем знакпод знак производной: , но  (по определению).

Имеем

.

(5)

Равенство (5) выражает теорему об изменении кинетического момента системы в векторной форме: производная от кинетического момента системы относительно некоторого центра по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно того центра.

Спроектировав равенство (5) на оси координат, получим

.

(6)

Равенства (6) выражают рассматриваемую теорему в скалярной форме: производная о кинетического момента системы относительно некоторой оси по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.

Частные случаи

Если , то  отсюда закон сохранения кинетического момента системы относительно центра О.

Если , то , закон сохранения кинетического момента системы относительно оси z

Теперь рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс.


Пусть Оxyz — неподвижные оси, относительно которых перемещается система с центром масс С, оси Сx’y’z’ перемещаются поступательно вместе с центром масс С системы (рис. 30), при этом оси Cx’y’z’ имеют ускорение , равное ускорению центра масс. Докажем, что теорема об изменении кинетического момента системы в выбранной неинерциальной системе координат будет иметь тот же вид, что и в неподвижной инерциальной системе координат.

Изучая динамику относительного движения, выяснили, что в инерциальных осях Cx’y’z’ все уравнения динамики можно составлять так же, как и в неподвижных осях, если к действующим на каждую точку Aj системы силам  и  прибавить переносную силу инерции  и кориолисову силу инерции . В данном случае переносное движение осей Cx’y’z’ поступательное и , а . Уравнение (5) в осях Cx’y’z’ примет вид

 . (7)

Но по свойству внутренних сил . По определению кинетического момента системы ,

где   — скорость  в подвижной системе Cx’y’z’.

Вычислим .

Но точка С есть начало координатных осей Cx’y’z’. Поэтому  и . Тогда .

Теперь уравнение (7) примет вид

(8)

Сравнивая этот результат с уравнением (5), видим, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.


Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика