Пример 1. Груз В весом P1 поднимается при помощи ворота силой G . Вес барабана ворота P2 радиус барабана R, длина рукоятки ОА = l. Определить ускорение груза В. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.
Система состоит из груза,
нити, барабана с рукояткой. На данную систему действуют внешние силы: 
. По теореме об изменении кинетического момента системы
. Найдем 
.
Заменим 
, получим 
. Дифференцируя 
, находим, что
.
Но .
Тогда 
откуда 
.
Порядок решения задач с помощью теоремы об изменении кинетического
момента системы
Направить одну из осей координат вдоль неподвижной оси вращения z.
Записать теорему
об изменении главного момента количеств движения системы относительно соответствующей
оси: 
.
Изобразить на рисунке все внешние силы системы.
Вычислить главный момент внешних сил относительно неподвижной оси z
Вычислить кинетический момент системы относительно оси z, затем взять его производную по времени.
Подставить результаты пп.4 и 5 в п.2 и затем, в зависимости от условия, решить прямую либо обратную задачу динамики.
Последовательность решения задач с помощью закона сохранения
кинетического момента системы
Выбрать координатные оси, направив одну из них вдоль неподвижной оси вращения.
Записать теорему
об изменении кинетического момента системы материальных точек относительно выбранной
оси, например, .
Изобразить на рисунке все внешние силы системы.
Показать, что сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси z равна нулю.
Вычислить и приравнять кинетические моменты системы материальных
точек относительно оси z в начальный и конечный момент времени: 
.
Решить уравнение , определить искомую величину.
Пример 2. Однородный
диск массой 
и радиусом r вращается вокруг оси АВ с угловой скоростью
(рис. 32). По радиусу диска движется
точка М массой 
с постоянной скоростью 
. Определить угловую скорость диска в момент t.
Система
состоит из диска, точки, оси. На нее действуют внешние силы: веса 
,
и реакции опор А и В, найдем 
, так как 
и 
параллельны Az, а реакции опор А и В пересекают ось Az.
Тогда 
, 
.
Найдем 
,
. Но 
. 
, так как 
пересекает Az, а 
.
Подставив значение 
, получим
,
но 
; 
, а 
.
Тогда 
,
но и поэтому 
, приравнивая 
,
получаем 
.
Контрольные вопросы и задания к теме 4
№ 41
Может ли танцор во время прыжка в танце изменять угловую скорость вокруг оси, проходящей через центр тяжести его?
Да.
Не может.
№ 42
Два человека весом Р каждый стоят на концах горизонтального стержня
АВ с тем же весом, вращающегося вокруг вертикальной оси О, проходящей через середину
стержня, с угловой скоростью .
Как изменится угловая скорость, если оба человека займут положение на серединах отрезков ОА и ОВ?
,
не изменится угловая скорость.
,
стержень остановится.
, угловая
скорость станет меньше.
,
угловая скорость станет больше.
№ 43
Определить кинетический момент
данной системы относительно оси z. Точки 
лежат в плоскости Оxy (рис. 33).
1.
.
2.
.
.
.
Выберете неверный ответ.
№ 44
Которое утверждение верно?
,
если 
.
,
если 
.
,
если 
.
,
если 
(
).
№ 45
Которое утверждение неверное?
Производная от кинетического момента системы относительно центра О по времени равна скорости конца вектора кинетического момента.
Скорость конца вектора кинетического момента системы относительно центра О равна главному моменту внешних сил относительно того же центра.
Производная от кинетического момента системы относительно центра О по времени равна главному моменту внешних сил относительно того же центра.
Производная от кинетического момента системы относительно центра О по времени равна главному моменту внешних сил относительно оси Oz, проходящей через центр О.
№ 46
Стержень АВ = l весом Р с прикрепленными на концах шариками
весом Q каждый вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 34).
Какова станет его угловая скорость, если шарик упадут вниз по стержням АС и ВС в точку С?
.
.
.
№ 47
Ротор А находится в покое. Внезапно к нему присоединили с помощью муфты
С ротор В, имеющий начальную скорость (рис. 35). Какова общая угловая скорость двух систем,
если момент инерции системы А равен 
, а система В — 
?
.
.
.
№ 48
Деревянная доска длиной l и весом P может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси OO1. В середину доски углубляется пуля, летевшая перпендикулярно доске со скоростью V0 (рис. 36). Определить угловую скорость, которую приобретает доска в момент попадания пули, если вес пули P1.
1. 
.
2.
.
3. 
.
4.
.
№ 49
Определить кинетический момент системы, состоящей из трех точек, относительно центра О. Точки расположены в пространстве произвольно.
1. 
.
2.
.
3. 
.
Укажите неверный ответ.
№ 50
Однородный цилиндр радиусом r и весом P может свободно вращаться вокруг неподвижной оси АВ. На цилиндр намотан нерастяжимый трос, к концам которого прикреплены грузы M1 и M2 весом P1 и P2 (P2 >P1) (рис. 37). Определить угловое ускорение цилиндра.
1. 
.
2.
.
3. 
.
4.
.