сухой паек в поезд
Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Математика задачи на решение числовых рядов

Числовые ряды

Критерий Коши (для числового ряда)

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм ; .

Тоерема признак Д'Аламбера

Аналитическая геометрия Ортогональная система координат в пространстве. Длина вектора. Типовые расчеты (курсовые задания) по математике

Знакопеременные ряды Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение абсолютной сходимости ряда

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Функциональные ряды Пусть  – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , .

Пример решение задачи

Равномерная сходимость ряда

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема о почленном интегрировании

Функциональные ряды в комплексной области

Степенные ряды

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости. Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть

Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или .

Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда

Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

Функциональные ряды

Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды.

Задача. Найти сумму ряда. Исследовать на сходимость ряд

Вычислить сумму ряда с точностью . Найти область сходимости ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными Рациональные ФКП

Вычислить приближенно .

Гиперболические ФКП.

Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности.

Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций

Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на .

Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( – время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим .

Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.

 

Типовые задачи

Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

(см. пример 1).

Задача 2. Иногда сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для   "свернуть" в формулу и перейти к пределу.

ПРИМЕР. Вычислить  – точное значение суммы ряда . Указать такое значение , при котором .

Решение. Общий член ряда  можно представить в виде . Поэтому

, т.е.  и  с погрешностью . По  находим , требуя  или , например .

Итак, точное значение суммы ряда ; для приближенного вычисления суммы  с погрешностью  нужно взять .

Задача 3. Изучить поведение числового ряда.

Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.

Для положительнозначных рядов обычно применяются признак Д'Аламбера (если в записи  встречается "факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить ); интегральный признак (если интегрирование соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки неравенства , иногда в предельной форме ) и т.д (см. примеры 4, 5).

Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).

Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.

ПРИМЕР. Доказать , т.е. показать, что при  б/б последовательность в знаменателе "существенно быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.

Решение. Рассмотрим ряд  – числовой положительнозначный; удобно применить достаточное условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим

, поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная (от  не зависит), а в знаменателе – показательная функция, которая при  даст .

Итак, по признаку Д'Аламбера () ряд сходится, по необходимому условию его общий член стремится к нулю при .

Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно  либо с последующей оценкой погрешности , либо проведение счета с заданной заранее погрешностью , т.е. сначала по  находим , а затем .

Оценка погрешности приближенного равенства  проводится различно в зависимости от структуры слагаемых ряда.

1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем .

ПРИМЕР. Ряд  – сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью  (три точных цифры справа от запятой в приближенном значении суммы ряда).

Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то ; потребуем .

Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда, чтобы  с .

 2. Для положительнозначного ряда рассмотренная оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку  – положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше первого слагаемого . Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы: (*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого каким-либо способом вычисляется.

ПРИМЕР. Для ряда  оценка погрешности приближения  запишется в виде

;

итак,  с погрешностью .

(**) Иногда полезны рассуждения:

.

Если последовательность , т.е.

, то, обозначив , получим

;

  и т.д.

Поэтому если 1)  и 2) , то .

(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем

.


[an error occurred while processing this directive]

Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика