Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Мужское портмоне-клатч. Не раздумывай дари

Заказать написание курсовых работ и дипломных проектов...
Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

Числовые ряды

Критерий Коши (для числового ряда)

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм ; .

Тоерема признак Д'Аламбера

Знакопеременные ряды Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение абсолютной сходимости ряда

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Функциональные ряды Пусть  – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , .

Пример решение задачи

Равномерная сходимость ряда

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема о почленном интегрировании

Функциональные ряды в комплексной области

Степенные ряды

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости. Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть

Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или .

Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда

Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

Функциональные ряды

Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды.

Задача. Найти сумму ряда. Исследовать на сходимость ряд

Вычислить сумму ряда с точностью . Найти область сходимости ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными Рациональные ФКП

Вычислить приближенно .

Гиперболические ФКП.

Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности.

Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций

Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на .

Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( – время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим .

Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.

 

Типовые задачи

Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

(см. пример 1).

Задача 2. Иногда сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для   "свернуть" в формулу и перейти к пределу.

ПРИМЕР. Вычислить  – точное значение суммы ряда . Указать такое значение , при котором .

Решение. Общий член ряда  можно представить в виде . Поэтому

, т.е.  и  с погрешностью . По  находим , требуя  или , например .

Итак, точное значение суммы ряда ; для приближенного вычисления суммы  с погрешностью  нужно взять .

Задача 3. Изучить поведение числового ряда.

Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.

Для положительнозначных рядов обычно применяются признак Д'Аламбера (если в записи  встречается "факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить ); интегральный признак (если интегрирование соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки неравенства , иногда в предельной форме ) и т.д (см. примеры 4, 5).

Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).

Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.

ПРИМЕР. Доказать , т.е. показать, что при  б/б последовательность в знаменателе "существенно быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.

Решение. Рассмотрим ряд  – числовой положительнозначный; удобно применить достаточное условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим

, поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная (от  не зависит), а в знаменателе – показательная функция, которая при  даст .

Итак, по признаку Д'Аламбера () ряд сходится, по необходимому условию его общий член стремится к нулю при .

Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно  либо с последующей оценкой погрешности , либо проведение счета с заданной заранее погрешностью , т.е. сначала по  находим , а затем .

Оценка погрешности приближенного равенства  проводится различно в зависимости от структуры слагаемых ряда.

1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем .

ПРИМЕР. Ряд  – сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью  (три точных цифры справа от запятой в приближенном значении суммы ряда).

Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то ; потребуем .

Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда, чтобы  с .

 2. Для положительнозначного ряда рассмотренная оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку  – положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше первого слагаемого . Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы: (*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого каким-либо способом вычисляется.

ПРИМЕР. Для ряда  оценка погрешности приближения  запишется в виде

;

итак,  с погрешностью .

(**) Иногда полезны рассуждения:

.

Если последовательность , т.е.

, то, обозначив , получим

;

  и т.д.

Поэтому если 1)  и 2) , то .

(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем

.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа