Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи операционное исчисление

Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд (1) сходится и сумма его равна , а - некоторое число, то сходится и ряд  и сумма его равна .

Доказательство: пусть  - частичная сумма ряда (1), а sn - частичная сумма ряда , тогда sn=kSn. Переходя к пределу при n®¥,получаем

,

то есть последовательность частичных сумм сходится к числу .

2.Пусть даны два ряда: и  Составим из них новый ряд

Если оба ряда и  сходятся, а их суммы равны соответственно  и , то ряд  сходится и сумма его равна +.

Доказательство: Очевидно, что  где  - соответственно частичные суммы рядов , ,.Переходя к пределу при ,
  получаем, что существует предел   и .

3. Ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: Пусть ряд (1) сходится и сумма его равна , то есть , а  - частичная сумма ряда, полученного отбрасыванием первых п членов . Значит, при фиксированном п конечный предел  при  существует тогда и только тогда, когда существует предел  при , а это и означает, что на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Из последнего свойства непосредственно вытекает, что сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, отбросить или добавить) конечное число членов ряда (хотя сумма его может измениться, если ряд был сходящимся).

Теорема. (Необходимое условие сходимости)

Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть

Доказательство: пусть ряд (1) сходится и сумма его равна . Имеем  или .Перейдём в последнем равенстве к пределу при, получим

Замечание. Условие не является достаточным. Нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если для некоторого ряда необходимое условие выполнено, то соответствующий ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. В таких случаях, то есть при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования.
Достаточное условие расходимости. Если для некоторого ряда предел n-го члена не равен нулю, то есть , то такой ряд является расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд .Он называется гармоническим.

Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости   Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S , мы бы имели:

  Но

Значит, . Отсюда следует, что равенство  невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

 


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике