Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

Пример . ФР  состоит из непрерывных на  функций, сходится при  к ; при  представляет собой сумму всех членов убывающей геометрической прогрессии при  , поэтому ФР сходится к , т.е.  не является непрерывной на ; точка  – ее точка разрыва.

Итак, область поточечной сходимости рассмотренного ФР есть вся числовая ось ; свойство непрерывности слагаемых ФР не сохраняется для его суммы.

ПРИМЕР 3. ФР  определен на множестве . Слагаемые ряда не образуют геометрическую прогрессию. Поэтому проводим рассуждения в общем виде:

зафиксируем ; получим числовой ряд . Он может быть знакопеременным. Поэтому рассматриваем ряд из абсолютных величин  – числовой положительнозначный ряд. Применим признак Коши (радикальный) ;

ряд сходится (абсолютно) при ; ряд расходится при ;

при  проводим дополнительные исследования:

 – ряд расходится;

 – ряд сходится.

Итак, область поточечной сходимости рассматриваемого ряда есть промежуток .

ПРИМЕР 4. ФР  знакоположителен и определен при , , но область поточечной сходимости его есть пустое множество, поскольку для всякого фиксированного  по признаку Д'Аламбера имеем  при всяком фиксированном значении .

Таким образом, на примерах пронаблюдали:

структура области поточечной сходимости ФР может быть различной;

свойства слагаемых могут не сохраняться для его суммы при поточечной сходимости.

Заметим, однако, что при поточечной сходимости свойства периодичности, четности и нечетности слагаемых ФР сохраняются и для суммы ряда. Свойства ограниченности и непрерывности суммы ряда, возможность почленного интегрирования и дифференцирования ФР, составленного из непрерывных функций, гарантируются равномерной сходимостью ФР.

Непрерывность суммы степенного ряда

, D – область сходимости

2) Интегрирование суммы степенного ряда

, D – область сходимости

 – радиус сходимости не меняется.

Дифференцирование суммы степенного ряда

, радиус сходимости при дифференцирование не меняется.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа