Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

Теорема о почленном интегрировании

Пусть . Тогда если 1) ; 2) , то допустима операция "почленного интегрирования", т.е. .

Доказательство. Рассмотрим ряд , здесь существование интегралов следует из непрерывности подынтегральных функций на ,  или .

Пусть  – его -я частичная сумма, а . Тогда

. Из условия 2 имеем

.

Получаем

, т.е. ряд из интегралов сходится (равномерно) к интегралу суммы исходного ФР.

Замечания. 1. Теорема может быть обоснована при требовании интегрируемости (по Риману) функций  на  вместо требований их непрерывности на .

2. Если один из пределов интегрирования переменный (как в рассматриваемой ситуации), то после почленного интегрирования получаем ФР и он сходится равномерно к интегралу от суммы исходного ряда. Если же оба предела интегрирования – постоянные, то речь идет о сходимости числового ряда к числу, равному значению определенного интеграла от суммы исходного ряда.

3. Формула почленного интегрирования ФР может быть записана в виде , показывающем, что для равномерно сходящегося ряда допустима перестановка операций предельного перехода при  и интегрирования на любом отрезке внутри .

ТЕОРЕМА (о почленном дифференцировании)

Пусть . Тогда если 1) ; 2); 3) , то .

Доказательство. На основе условий 1 и 3 проведем почленное интегрирование ряда "из производных", получим

, или , или  для .

Продифференцируем последнее тождество, получим требуемое соотношение.

Замечание. Условие 3 теоремы является существенным, так как из сходимости ряда из функций не следует, вообще говоря, сходимость ряда из производных функций. Например, ФР  сходится абсолютно и равномерно, но для ФР  не выполняется необходимое условие сходимости, и ряд расходится. Операция почленного дифференцирования к рассматриваемому ряду не применима.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа