Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Математика задачи на решение числовых рядов

Степенные ряды Поточечная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.  (1)

Здесь  – числовая последовательность,  – фиксированное число (точка). Ряд (1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд

,  (2)

а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой  на .

Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА  АБЕЛЯ

Если : ряд  сходится, то  ряд  сходится (абсолютно).

Если : ряд  расходится, то  ряд  расходится.

Доказательство. Поскольку ряд  сходится, то по необходимому условию . Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т.е. .

Пусть  – фиксированное и . Тогда , т.е. члены ряда  меньше () соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Итак, на  исходный ряд сходится (абсолютно).

Пусть ряд  расходится. Возьмем произвольное фиксированное . Предположим, что ряд  сходится, тогда по доказанному выше в каждой точке  ряд  сходится, т.е., в частности, ряд  сходится, а это противоречит предположению о его расходимости. Требуемое утверждение обосновано.

Замечание. Для множества  – точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае) , для множества   – точек расходимости ряда (2) . Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то  – число (радиус сходимости) такое, что   ряд  сходится, а для  ряд  расходится. Интервал  – интервал сходимости ряда (2). Поведение ряда при  и при  требует дополнительного исследования.

Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда  есть интервал сходимости  с возможно присоединенными "концами"; для смещенного степенного ряда  область сходимости есть интервал  с возможно присоединенными концами  или .

Для нахождения  – радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.

(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных величин, зафиксируем значение  и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим

  (требуем) ; аналогично .


Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика