Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

Степенные ряды Поточечная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.  (1)

Здесь  – числовая последовательность,  – фиксированное число (точка). Ряд (1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд

,  (2)

а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой  на .

Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА  АБЕЛЯ

Если : ряд  сходится, то  ряд  сходится (абсолютно).

Если : ряд  расходится, то  ряд  расходится.

Доказательство. Поскольку ряд  сходится, то по необходимому условию . Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т.е. .

Пусть  – фиксированное и . Тогда , т.е. члены ряда  меньше () соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Итак, на  исходный ряд сходится (абсолютно).

Пусть ряд  расходится. Возьмем произвольное фиксированное . Предположим, что ряд  сходится, тогда по доказанному выше в каждой точке  ряд  сходится, т.е., в частности, ряд  сходится, а это противоречит предположению о его расходимости. Требуемое утверждение обосновано.

Замечание. Для множества  – точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае) , для множества   – точек расходимости ряда (2) . Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то  – число (радиус сходимости) такое, что   ряд  сходится, а для  ряд  расходится. Интервал  – интервал сходимости ряда (2). Поведение ряда при  и при  требует дополнительного исследования.

Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда  есть интервал сходимости  с возможно присоединенными "концами"; для смещенного степенного ряда  область сходимости есть интервал  с возможно присоединенными концами  или .

Для нахождения  – радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.

(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных величин, зафиксируем значение  и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим

  (требуем) ; аналогично .


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа