Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Математика задачи на решение числовых рядов

Степенные ряды

ПРИМЕР 1. Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости.

Решение. Здесь ; по формуле

; при   ряд  расходится; при  ряд  сходится (условно).

Итак, область сходимости ряда есть промежуток , или , или .

(**) В некоторых степенных рядах показатели степеней аргумента расположены не подряд, а по какому-то закону, например ,  и т.д. с нулевыми слагаемыми. В этом случае радиус сходимости вычисляем, исходя из общих соображений.

Замечания. 1. Случаи  и  допустимы, например, для ряда  область сходимости состоит из точки   (); для ряда  область сходимости  соответственно .

2. Для степенного ряда в , т.е. для рядов  и , где ,  – комплекснозначная числовая последовательность, ТЕОРЕМА АБЕЛЯ имеет место. Область сходимости есть круг сходимости  или  с возможно присоединенными точками, лежащими на окружности  или . Нахождение  проводится аналогично, но соответствующие ряды строятся "из модулей" слагаемых.

ПРИМЕР 2. Найти и построить круг сходимости степенного ряда .

Решение. Задан смещенный степенной ряд при  и .

Тогда .

Итак, круг сходимости  есть множество всех точек круга (без границы) с центром в точке  и радиусом длиной  (см. рисунок).

Замечание. Степенные ряды применяются для задания функций (их сумм), а также для приближенных вычислений, использующих представление функций степенными рядами. Для решения этих задач нужно уметь устанавливать свойства сумм степенных рядов, гарантированных равномерной сходимостью рядов.

Пример:

 Замена: y = UV 

Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу:  Подставим в исходное уравнение:

Следовательно,

Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

 Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение  из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.


Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика