Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

Равномерная сходимость

Пусть , . Возьмем . Тогда ряды   и  сходятся; для всех  ряд  является мажорантой. По признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится на .

Таким образом, всякий степенной ряд , сходящийся на , равномерно сходится на любом сегменте , вложенном в интервал сходимости   (достаточно взять ).

Комплекснозначный степенной ряд , сходящийся на , равномерно сходится на всяком замкнутом подмножестве этого круга сходимости.

Некоторые свойства суммы степенного ряда

Пусть . Используя теоремы о свойствах суммы равномерно сходящегося ряда, можно сформулировать следующие свойства функции .

1. Область определения функции  совпадает с областью поточечной сходимости ряда, т.е. .

2. На   – ограниченная функция.

3. На   – непрерывная функция; в самом деле, для   такой, что  и на   равномерно непрерывна, а значит, непрерывна на , т.е.  непрерывна в каждой точке сегмента, в том числе и в точке . В силу произвольности точки  получаем непрерывность  на .

4. Для любых точек  и  на  ; в частности, при   и  получаем новый степенной ряд с известной его суммой . Значение радиуса сходимости степенного ряда, полученного почленным интегрированием, сохраняется, поскольку .

5. Операция почленного дифференцирования степенного ряда  приводит к степенному ряду , ; значение радиуса сходимости не изменяется.

Замечание. Операция почленного интегрирования, как правило, "улучшает" сходимость получающегося ряда. В частности, для степенного ряда множество точек сходимости может расшириться за счет присоединения к   точек  или .

Операция почленного дифференцирования, как правило, "ухудшает" сходимость получающегося ряда. Так, для нового степенного ряда сходимость в точках  или  может пропасть.

ПРИМЕР 3. Для ряда  область сходимости есть промежуток . После почленного интегрирования получаем степенной ряд , его область сходимости – сегмент ; почленное дифференцирование исходного ряда приводит к ряду , его область сходимости – интервал .

Пример иллюстрирует замечание.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа