Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

ФКП

ПРИМЕР 7. Вычислить .

Решение. , т.е.  есть бесконечное множество комплексных чисел вида .

ПРИМЕР 8. Вычислить: а) ; б) .

Решение. а) по формуле имеем  – действительное число при каждом .

б) аналогично имеем

, .

ПРИМЕР 9. Найти образ области  при отображении .

Решение. Поскольку , то для  в I квадранте имеем , . Образ границы области  есть граница прямоугольника . Применяя свойство сохранения ориентации границы по отношению к ограниченной области, заключаем, что область   отображается в указанный прямоугольник.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФКП

Через  обозначим ФКП, обратную ФКП . Чтобы получить выражение для , проведем следующие преобразования: равенство   запишем в виде  или ; решим квадратное уравнение , откуда , т.е.

 .

Здесь  имеет два значения, так как символ "корень квадратный" рассматривается в смысле извлечения корня второго порядка из комплексного числа. Аналогичным образом получаются выражения обратных ФКП для других тригонометрических и гиперболических ФКП

,

.

ПРИМЕР 10. Вывести формулу для ФКП , обратной для ФКП .

Решение. Равенство  запишем в виде  или , откуда получаем , т.е.

.

Замечаем, что если тригонометрические и гиперболические ФКП связаны через показательную ФКП , то обратные к ним ФКП связаны через логарифмическую ФКП ; поэтому они бесконечно значные. Значение обратной ФКП, соответствующее главному значению соответствующей логарифмической ФКП, называется главным значением обратной ФКП.

ПРИМЕР 11. Решить уравнение .

Решение. Простейшее тригонометрическое уравнение вида  в комплексной области имеет решения для произвольного числа , причем . Поэтому в нашем случае имеем

, .

Ответ записан в алгебраической форме, он содержит бесконечное множество значений.

14.5. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. Нужно уметь вычислять значение однозначной ФКП в конкретной точке и изображать (схематично) полученную точку на   – плоскости; указать ее модуль и аргумент (см. примеры 1, 4, 5)

Задача 2. Найти образ области, заданной на плоскости  (на   – плоскости), на  – плоскости, если  – конкретная ФКП (см. примеры 6, 9).

В некоторых заданиях предлагается найти образ "прямолинейной прямоугольной сетки" на  – плоскости при ; как правило, получаем криволинейную прямоугольную "сетку" на  – плоскости (см. пример 2).

Известно (см. [7]), что для простейших однозначных ФКП  точка отображается в точку, линия – в линию, область – в область. Образ границы области есть граница образа области, при этом для образа области сохраняется ориентация его границы. Поэтому для нахождения образа области  при отображении :

1) находим в  – плоскости образ границы области ;

2) определяем ориентацию границы образа области по ориентации границы исходной области ;

3) устанавливаем образ области  по ориентации ее границы.

Напоминаем, что обычно граница  области  считается положительно ориентированной, если при обходе по  область остается слева.

Задача 3. Вывести одну из формул, связывающих тригонометрические или гиперболические ФКП (см. пример 3).

Задача 4. Вычисление значений бесконечно значных ФКП  и  в конкретных точках (см. примеры 7, 8).

Задача 5. Решение уравнений с тригонометрическими и гиперболическими функциями. Для используемых обратных ФКП вывести (в общем виде) формулу значений (см. примеры 10, 11)


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа