Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика функции комплексной переменной

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Среди многообразия видов функциональных зависимостей
выделяются периодические функции; ими описываются периодические процессы и явления, встречающиеся в природе и в технике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на , называется -периодической, если существует число  такое, что
для каждого значения  выполняется равенство , т.е.

. (1)

Число   называется периодом функции .

Периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Например,  имеет множество периодов ; для функции  любое действительное (ненулевое) число является периодом.

Основным периодом периодической функции называют
наименьшее положительное число  из множества всех ее периодов.

 

Некоторые свойства периодической функции

 

1. Для построения графика –периодической функции достаточно построить его на любом отрезке длиною , например на , а затем периодически продолжить.

2. Если  – –периодическая функция, то , , является тоже периодической функцией с периодом .

В самом деле, пусть . Тогда для всякого  имеем , т.е. .

3. Сумма, разность и произведение конечного множества –периодических функций есть в свою очередь –периодическая функция. Это свойство легко проверить непосредственно по определению.

4. Если –периодическая функция   интегрируема на любом отрезке конечной длины, то значение интеграла функции на отрезке длиной   не зависит от расположения отрезка интегрирования на числовой оси, т.е.

. (2)

В самом деле, по свойствам определенного интеграла имеем

.

В последнем слагаемом проведем замену переменной интегрирования , тогда . Окончательно получаем

.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа