Учишься в 7-ом классе? Испольчзуй ГДЗ за 7 класс онлайн по русскому языку. РЕШАТОР!
Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика функции комплексной переменной

Гармоники

Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида

, (3)

где ,  – постоянные числа,   – независимая переменная (время). Эти функции встречаются при описании колебаний точки:
 – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия,
 – амплитуда,   – частота,  – начальная фаза колебания;
период колебания равен . Сдвигом на  получается гармоника вида .

Некоторые свойства гармоник

1. Простая гармоника (3) может быть представлена в виде суммы двух тригонометрических функций одного и того же аргумента. Например,

,

где   и  не зависят от .

Верно и обратное утверждение. Выражение  всегда можно записать в виде одной гармоники. Для этого достаточно взять , ,  или .

2. Сложение двух простых гармоник одинаковой частоты есть простая гармоника той же частоты (легко проверить).

3. Функция, образованная сложением конечного множества
(более одного) простых гармоник с разными частотами, не является простой гармоникой.

Если частоты (а соответственно и периоды) гармоник соизмеримы, т.е. , то сумма простых гармоник есть периодическая функция с периодом , но вовсе не гармоника. Например, сумма гармоник   есть  – периодическая функция, но не простая гармоника.

Если же частоты (периоды) складываемых гармоник несоизмеримы, то сумма их не является вообще периодической функцией. Например, сумма гармоник   с несоизмеримыми частотами  и  не является периодической функцией.

Мы будем рассматривать суммы гармоник с кратными, а значит, с соизмеримыми периодами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма гармоник

называется тригонометрическим многочленом -го порядка и обозначается

.

Числа   и  являются коэффициентами тригонометрического многочлена .

При неограниченном росте  имеем ряд, который обычно записывается в виде  и называется тригонометрическим рядом с коэффициентами  и .

Как тригонометрический многочлен, так и сумма тригонометрического ряда, если ряд сходится, является  – периодической функцией, причем сложение гармоник с кратными частотами приводит к весьма разнообразным периодическим функциям.

Естественно возникает обратная задача: нельзя ли произвольную периодическую функцию представить как результат сложения гармоник? Оказывается, что, вообще говоря, сделать это нельзя, если ограничиться конечной суммой гармоник. Но если рассмотреть суммы бесконечного множества гармоник, т.е. тригонометрические ряды, то задача может быть решена для достаточно широкого класса периодических функций.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа