Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика функции комплексной переменной

Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пусть функция  задана на промежутке  и удовлетворяет на нем достаточным условиям разложимости в ТРФ.

Будем называть  – периодическим продолжением
функции ,   функцию ,  со следующими свойствами:

1)  – периодическая с периодом ;

2)  на .

Функция  может быть представлена ТРФ на всей числовой оси. Естественно считать построенный ряд тригонометрическим
рядом Фурье функции  на .

ПРИМЕР 10. Разложить в ТРФ функцию , .

Решение. Функция , являющаяся  – периодическим продолжением заданной функции , представлена графиком. Построим ТРФ функции  и на  представим заданную функцию  этим рядом.

;

 

; аналогично

 .

Итак, на   имеем .

При   и  сумма ряда равна .

Частный случай

Пусть ,  удовлетворяет достаточным условиям
разложимости в ТРФ на . Построим  – –периодическое продолжение заданной функции. Для этого сначала доопределим ее на  с помощью какой-либо функции ,  так, чтобы функция

 (15)

удовлетворяла условиям разложимости в ТРФ на . Затем
построим  – –периодическое продолжение функции , . ТРФ функции  считаем на  соответствующим исходной функции , .

ПРИМЕР 11. Разложить в ТРФ функцию , .

Решение. Доопределим заданную функцию с помощью, например, , . Для полученной функции

построим  – –периодическое продолжение
(см. рисунок). ТРФ функции  определяется коэффициентами:

;

 

;

аналогично

 .

Итак, на  имеем

;

для   сумма ТРФ равна .

Функцию ,  можно доопределить на  четным или нечетным образом. Соответствующий ТРФ содержит либо только постоянную составляющую и косинусы, либо только синусы углов.


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа