Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на решение числовых рядов

Теорема признак Д'Аламбера

Пусть задан , пусть  – конечное число, . Тогда

 .

При  требуются дополнительные исследования.

Доказательство. Пусть . Тогда для  существует   такое, что для всякого  , или   , или , т.е., начиная с некоторого номера, имеем  . Числовой ряд   сходится и оценивает сверху исходный ряд, поэтому ряд  сходится.

Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера, , т.е. ; для ряда  (ряд состоит из положительных слагаемых) , поэтому исходный ряд расходится.

Заметим, что условие  не позволяет установить поведение ряда. Например, для расходящегося ряда  имеем ; для сходящегося ряда  имеем также .

ТЕОРЕМА (признак Коши)

Пусть задан ; пусть  – конечное число, . Тогда 

 .

Доказательство проводится аналогично доказательству признака Д'Аламбера (рекомендуем провести самостоятельно).

При  требуются дополнительные исследования.

Например, для расходящегося ряда  имеем , поскольку .

Заметим на будущее, что .

Хотя ряд  сходится, значение , поскольку

.

Итак, по значению  нельзя установить поведение ряда.

Пример 3:

Решить уравнение : , интегрируя обе части уравнения, получим

d(lny) = d(lnx) .

Потенциируя обе части уравнения, получаем общее решение y = Cx, которое изображается серией линейных интегральных кривых, проходящих через точку (0,0). При этом из графика (рис.3) видно, что через любую точку, не принадлежащую (0,0), проходит только одна интегральная кривая (решение).

Рис.3


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа