Задачи
Математика
Электроника
Физика
Культура
Геометрия
Энергетика
Практика

Искусство

Черчение
Реактор
Курсовая

Лабы

Контрольная
Электротехника
Типовые

Математика задачи на решение числовых рядов

Знакопеременные ряды

Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Например, знакопеременными являются следующие ряды ; ;  (здесь ,,,, и т.д.).

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды .

Достаточное условие их сходимости дает следующее утверждение.

ТЕОРЕМА Лейбница *

Если 1) ; 2) , то знакочередующийся ряд  сходится.

Доказательство. Рассмотрим

 по условию 1,

с ростом  возрастает. Если сгруппировать слагаемые иначе:   и учесть неотрицательность вычитаемых чисел, то получим ограниченность последовательности , т.е. . Возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится:  – конечное число : .

Рассмотрим : поскольку  и  при , то по теореме о пределе суммы последовательностей .

Из сходимости подпоследовательностей  и  к одному и тому же пределу следует сходимость исходной последовательности  к , а значит, и сходимость ряда .

Следствие. Сумма сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит первого его слагаемого (взятого по абсолютной величине)

.

Замечание. Условия теоремы Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда являются существенными. Если нарушено одно из этих требований, то ряд может расходиться. Условие 2) – необходимое условие сходимости (см. ранее). Существенность условия 1) покажем на контрпримере: рассмотрим знакочередующийся ряд , предел его -го члена при  равен нулю, а условие убывания абсолютных величин

слагаемых нарушено. Покажем, что этот ряд расходится. В самом деле,   и при  .

Сходимость произвольного знакопеременного ряда иногда можно установить по следующей теореме.

ТЕОРЕМА (достаточное условие сходимости (абсолютной сходимости) знакопеременного ряда)

Пусть ряд  – знакопеременный. Если ряд из "абсолютных величин"  сходится, то исходный ряд  также сходится.

Обратное утверждение неверно.

Доказательство. По критерию Коши из сходимости ряда  имеем  . Оценим соответствующий "отрезок" ряда с -го члена "длиной " для исходного ряда .

Итак, для исходного ряда имеем

 ,

т.е. выполнено условие Коши, и по критерию Коши исходный ряд сходится.


Физика

Математика
Электротехника
Начертательная геометрия
Информатика