Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Вычисления несобственного интеграла

ПРИМЕР 7. Вычислить .

Решение. Введем вспомогательную функцию . Очевидно: если , то  совпадает с подынтегральной функцией. ФКП  удовлетворяет условиям леммы Жордана (первая форма). В верхней полуплоскости находится особая точка  функции . По формуле (4) имеем:

.

Отделяя слева и справа мнимые части, получаем . В силу четности подынтегральной функции окончательно имеем .

Задание. Вычислить .

Ответ: .

Замечание. При использовании формул (1) и (4) существенным является отсутствие особых точек ФКП  на оси . Рассмотрим пример, для решения которого не применима формула (6).

ПРИМЕР 8. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция есть , где . Для соответствующей ФКП  особые точки , , , причем точка  расположена на оси ,  – в верхней полуплоскости.

Рассмотрим контур  (см. рисунок), составленный из отрезков ,  и полуокружностей , , , предполагая  достаточно малым, , а  – достаточно большим числом, , с тем, чтобы контур  охватывал особую точку . Тогда по основной теореме о вычетах имеем

,

где

. (7)

Ориентация контура  и его частей указана на рисунке.

Для  выполнена лемма Жордано (первая форма), т.е. .

Рассмотрим , здесь , , поэтому

.

При  и   равенство (7) запишется в виде

 или

.

Выделяя мнимую часть результата, находим окончательно

.


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике