Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения

Теорема (о запаздывании оригинала)

Если  и  , то для  справедливо соотношение

.  (13)

Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом , запаздывает на  по сравнению с первоначальным  (см. рисунок), то изображение, соответствующее этому процессу, получается умножением изображения первоначального оригинала на . В самом деле, для оригинала  по определению (1) изображение запишется в виде

, поскольку  для каждого . Проведем замену переменной , . Тогда

.

ПРИМЕР 13. Найти изображение прямоугольного импульса амплитуды   продолжительностью  с запаздыванием  (см. рисунок).

Решение. Импульс

можно записать аналитически с помощью единичной функции в виде

Используя свойства преобразования Лапласа и теорему о запаздывании оригинала, получаем

.

Замечания: 1. При использовании теоремы запаздывания оригинала рекомендуется всегда оригинал записывать с множителем . В противном случае возможны ошибки. Например, для оригинала , а для оригинала .

2. Теорема запаздывания оригинала используется для нахождения изображения кусочно-непрерывных функций (иногда их называют "склеенными" функциями).

ПРИМЕР 14. Найти изображение оригинала

Решение. Можно записать . Тогда .

Здесь имеем  и

Суммируя эти функции на промежутках , , , получаем значение функции .

Степенные ряды

Степенными рядами называются ряды вида , где an, x0 –постоянные, x – переменная.

Мы будем рассматривать ряды с x0 = 0, т.е.

1 теорема Абеля. Пусть сходится при некотором x0. Тогда для любого "h< ряд сходится равномерно на [-h;h]

Доказательство: Так как  сходится, то , где M>0 – некоторая постоянная.

сходится по признаку Вейерштрасса

Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств:

D=, где R – радиус сходимости.

Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают  - ряд сходится на всей числовой прямой.

Приведём примеры:

Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.

Признак Даламбера:

  

Признак Коши:

 

Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике