Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Пример. Найти изображение функции, представленной графиком на рисунке.

Решение. Функция

 может быть представлена через единичную функцию , а именно . Для того, чтобы применить теорему о запаздывании оригинала, преобразуем второе слагаемое к виду . Окончательно получаем  и по формуле (13) .

ПРИМЕР 16. Найти изображение функции, представленной графиком.

Решение. По рисунку имеем

  Через единичную функцию  запишем  так, чтобы на каждом из промежутков значение  совпало с вышеуказанным, а в точках "стыка" графика "вводилась" единичная функция с соответствующим сдвигом аргумента. Получаем

 и соответственно

.

Теорема (о смещении изображения)

  . (14)

В самом деле, для оригинала  изображение находится по формуле (1)

.

Число  может быть действительным или комплексным, .

ПРИМЕР 17. Найти изображение оригиналов , , .

Решение. Из примера 7 . По теореме (14) имеем

.

Аналогично

 ,   .

Задание

Найти изображения функций:

а) б)

в) .

Ответы: а) ; б) ;

в) .

Найти изображения оригиналов:

а) ,  б) ; в) .

Ответы: а) ; б) ; в) .

Пример 1: Решить уравнение . Его решение:

определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

рис.1

 Таким образом, серия графиков получена параллельным переносом на константу С.

рис.2


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике