Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Обращение преобразования Лапласа

Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.

Теорема (существования оригинала)

Пусть функция  комплексной переменной  удовлетворяет следующим условиям:

  – АФКП в области ;

в области  функция  стремится к нулю при  равномерно относительно ;

для всех  сходится интеграл

 . (16)

Тогда функция  при  является изображением функции  действительной переменной , которая определяется выражением

, (17)

Интеграл (16) представляет собой несобственный интеграл от действительной функции   по прямой . Несобственный интеграл (17) вычисляется вдоль прямой  и понимается в смысле главного значения. Равенство (17) имеет место в точках непрерывности функции  ("почти всюду").

Применяя методы вычисления контурных интегралов ФКП (см. п.6.3) на основе леммы Жордана, можно получить следующие теоремы для вычисления интеграла (17).

Теорема 1

Пусть изображение  аналитически продолжимо на полуплоскость , причем продолженная функция удовлетворяет условиям:

 при   имеет конечное число изолированных особых точек ;

  при  стремится к нулю равномерно относительно .

Тогда интеграл (17) вычисляется по формуле

.  (18)

Теорема 2 (о рациональном изображении)

Пусть изображение  есть правильная несократимая рациональная дробь , . Пусть знаменатель  имеет корни  кратности соответственно  так, что , .

Тогда оригинал  может быть найден по формуле

.  (19)

Частный случай теоремы (о рациональном изображении) для ситуации, когда все корни знаменателя  являются простыми, т.е. , , позволяет находить оригинал по формуле

.  (20)

ПРИМЕР 27. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Решение. Знаменатель имеет корни  кратности  и  кратности . Находим вычеты функции  в полюсах  и , а именно

.

Аналогично

.

Окончательно искомый оригинал запишется в виде

.

ПРИМЕР 28. Найти оригинал , если изображение его есть .

Решение. Знаменатель имеет только простые нули , . Поэтому

.

Итак, .


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике