Самая подробная информация букет с доставкой недорого в Мытищах на нашем сайте.
Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи операционное исчисление

Формулы Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений

Иногда изображения приводятся к виду , причем оригиналы изображений  и  известны, т.е.  и . Тогда оригинал изображения  можно найти через оригиналы  и  следующим образом.

Выражение  можно записать в виде

  или

.

По свойству дифференцирования оригинала имеем  и  Применяя теперь теорему Бореля к изображениям  и , получаем

  или

. (23)

Аналогично получается формула

.  (24)

Соотношения (23) и (24) называются формулами Дюамеля, а интегралы в правых частях формул называются интегралами Дюамеля. Заметим, что можно использовать свойство симметрии свертки функций  и , а также  и , и получить еще две формулы Дюамеля:

.  (25)

. (26)

Формулы Дюамеля применяются, например, для решения дифференциальных уравнений в некоторых ситуациях.

Пусть известно решение  линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с единичной правой частью и нулевыми начальными условиями в нуле:

,  (27)

. (28)

Найти решение аналогичного дифференциального уравнения с правой частью :

  (29)

при тех же начальных условиях (28).

Решение задачи. Предположим, что искомое решение , функция  и решение  уравнений (27) – (28) являются оригиналами, причем , , . Тогда для дифференциальных уравнений (27) – (28) и (29) – (28) операторные уравнения запишутся соответственно

  и

.

Разделив равенства, получим  или . Применяя к  формулы Дюамеля (23) – (26), получим решение уравнения (29) при (28), например, в виде  или  и т.д.

ПРИМЕР 35. Найти решение дифференциального уравнения  при .

Решение. Рассмотрим вспомогательное уравнение  при . Ему соответствует решение , .

Для решения исходного уравнения воспользуемся формулой Дюамеля (24) при  и , получаем

.

Итак, решение уравнения есть

.

Теорема Бореля и формулы Дюамеля дают дополнительные возможности нахождения оригинала по изображению.

Задание

Используя формулу Дюамеля, решить дифференциальное уравнение  при .

Ответ: , .

Проверить, что  – решение дифференциального уравнения  при . Найти решение уравнения   при .

Ответ: .

 


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике