Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи операционное исчисление

 Спектральные характеристики функции

Если непериодическая функция  представлена ИФ по формуле (6), то функция

 (7)

называется спектральной функцией (или спектральной плотностью функции) . Отметим, что  вводится с точностью до постоянного множителя (масштаба) и является, как правило, комплексно-значной функцией частоты .

Действительно-значные функции частоты

 (8)

называются амплитудной и фазовой спектральными функциями (характеристиками) непериодической функции  (соответственно АЧХ и ФЧХ сигнала ).

Эти функции и их графики называются также соответственно амплитудными и фазовыми частотными спектрами функции .

Некоторые свойства спектров

1. Поскольку для , то функция  четная, а функция   нечетная. Поэтому амплитудный частотный спектр  симметричен относительно оси , а фазовый частотный спектр  симметричен относительно точки .

2. Из (7) имеем

.

Применяя лемму Римана–Лебега [15], для кусочно-гладкой функции   получаем , а поэтому , т.е. амплитудный частотный спектр функции  при  асимптотичен по отношению к оси .

3. Если положить , , то фазовый частотный спектр функции  ограничен.

ПРИМЕР 1. Функцию  представить ИФ. Найти и построить ее спектры.

Решение. Поскольку , то функция  абсолютно интегрируема на . На всяком отрезке конечной длины  кусочно-гладкая. Поэтому она представима ИФ.

Поскольку , то имеем разложение , .

Графики спектральных характеристик

  и


изображены на рисунке. Здесь можно проследить указанные ранее свойства частотных спектров.

Сопоставим понятия ТРФ и ИФ, параллельно выписывая свойства и термины.

ТРФ

ИФ

 – –периодическая функция, ;

  – дискретная переменная – принимает значения

;

  – сумма функционального ряда;

,  – комплексная последовательность коэффициентов Фурье определяет дискетный частотный спектр функций .

Разложение  в ТРФ есть представление периодической функции   в виде "суммы" счетного множества гармоник , .

 – непериодическая функция, ;

  – непрерывная переменная – принимает значения ;

  – несобственный интеграл;

,  – комплекснозначная спектральная функция определяет "сплошной" частотный спектр функции .

Разложение  в ИФ есть представление непериодического сигнала   в виде "суммы" континуального множества колебаний  с частотами .

 


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике