Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи операционное исчисление

 Различные записи интеграла Фурье

ИФ функции  в (5) или в (6) обычно называют ИФ в комплексной форме.

Для действительно-значной непериодической функции ее ИФ можно записать в действительной форме.

Воспользуемся формулой Эйлера для выражения  в (5), получим для

Если функции  и  ограничены и абсолютно интегрируемы на , то интеграл (18) существует, равномерно сходится по  на , является абсолютно интегрируемой на  функцией. Если к тому же функции   и  непрерывны на , то их свертка также непрерывная на  функция (см. [1] – [5]).

Используя определение (18), можно проверить следующие свойства операции свертки:

1) коммутативность ;

2) ассоциативность ;

3) дистрибутивность .

ПРИМЕР 12. Найти , если

 

Решение. По определению , где  

Возьмем . Тогда , поскольку на  , на  . Возьмем . Тогда имеем

.

Итак, окончательно получаем

Заметим, что свертка "односторонних" функций, рассмотренная ранее в преобразовании Лапласа, согласуется с определением (18).

Теорема (о свертке оригиналов)

,

т.е. свертка двух оригиналов при преобразовании Фурье соответствует умножению их изображений.

Доказательство. Функции  и  предполагаем ограниченными, непрерывными и абсолютно интегрируемыми на , поэтому их свертка обладает теми же свойствами и для нее можно рассматривать изображение по Фурье

.

Теорема (о свертке изображений)

,

т.е. умножение оригиналов соответствует свертке их изображений.

Доказательство проводится аналогично.

Пример:

 Общее решение уравнения будет: ; особое решение : 0=x + 2C

 Проверим, что последняя функция действительно является решением исходного уравнения: 

Дифференциальное уравнение n-ного порядка

Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых постоянных):

Либо общее решение может быть найдено в явном виде:

 


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике