Типовые задачи по теме Ряды Вычислить интеграл Вычисление несобственного интеграла Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Математика задачи операционное исчисление

ПРИМЕР 13. Проиллюстрировать теорему о свертке оригиналов для функций примера 12.

Решение. Имеем , ,

.

23.7. СВЯЗЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ПЛ

ПФ

Оригинал ,

1)  ;

2) на   имеет не более чем конечное множество точек разрыва и только 1го рода;

3) .

Изображение (по Лапласу)

,

здесь , .

Оригинал ,

1) ;

2) на   представима ТРФ.

Изображение (по Фурье)

,

здесь .

Заметим, что для существования  – изображения по Фурье для  требуются более жесткие условия. Даже такие часто встречающиеся функции, как , , , ,  и т.д., не являются абсолютно интегрируемыми на .

Для того чтобы расширить множество функций, к которым применимо ПФ, иногда применяют ПФ не к , а к функции , где  – некоторое неотрицательное число, , а затем изучают  при . Полученные результаты требуют проверки.

Очевидно, что если функция ,  – одновременно оригинал (по Лапласу) и оригинал (по Фурье), то ее изображение (по Лапласу) и изображение (по Фурье) связаны соотношением

.

ПРИМЕР 14. Найти , где

   – параметры.

Решение. Функция  – финитная, одновременно оригинал для ПЛ и для ПФ, причем

.

Поэтому .

 


Примеры решения задач контрольной, курсовой работы по высшей математике